Логикалык алгебра. Логика алгебрасынын. математикалык логика элементтери

Бүгүнкү күндө биз барган сайын машиналардын жана техниканын ар кандай колдонуп жатышат. Ал сөзмө-табияттан тышкаркы күч колдонуу зарыл болгондо гана эмес, бийиктиги, узун жана терең казып, ж.б. бүгүн Машиналар, аны көтөрүү үчүн жүк түрткү роботторду чогултуп, азык-түлүк Multivarki жана башталгыч аритметикасы эсептөөлөр эсептегичтер өндүрүү бышырылган жатат ... Биз көбүрөөк сөз айкашын көп "логикалык алгебра" уккан. Балким, убакыт роботтор менен машиналардын түзүүгө жөндөмдүү адамдардын ролун гана математикалык эмес, чечүүгө түшүнүү үчүн келген жок, бирок ошондой эле логикалык проблемаларды.

логика

Грек логика-жылы - берилген шарттарда ортосундагы байланышты түзүп ой бир буйрук системасы жана болжолдоолорду жана баа боюнча корутунду чыгарууга мүмкүндүк берет. Көп учурда, биз бири-биринен сурашат: жооп Биздин божомолдор же ойду сынга тастыктап турат: "Бул акылга сыярлык". Бирок, бул жараян менен эле токтоп калган эмес, биз менен сүйлөшкүсү келет.

Кээде шарттарда (киргизүү) саны ушунчалык көп болгондуктан, алардын ортосундагы байланыш адамдын мээси ушунчалык кыйын жана татаал болгондуктан, баары бир учурда "жыйнагы" кыла албай калат. Сен эмне болуп жатканын түшүнүү үчүн бир эмес, бир нече айдан (жума, жыл) керек болот. Бирок, азыркы жашоо бизге чечим чыгарууга бул убакыт араларды бере бербейт. Биз ЭЭМдин жардамы колдонушат. Ошондой эле ал анын мыйзамдарын жана касиеттери бар, бир алгебра жана логика экенин бул жерде. баштапкы маалыматтардын баарын Жүктөп алгандан кийин, биз компьютер, бардык байланышты аныктоо үчүн карама-каршылыктарды жоюу жана канааттандырарлык чечим табуу үчүн мүмкүнчүлүк берет.

Математика жана логика

Famous Gotfrid Vilgelm Leybnits милдеттери окумуштуулардын аз гана чөйрөсүн түшүнүктүү болду ", математикалык логика" түшүнүгүн, калыптанган. өзгөчө кызыгууну пайда кылган эмес багыт болуп саналат, ал бир нече белгилүү математикалык логика XIX кылымдын ортосуна чейин.

илимий коомчулуктун улуу пайыздык англиялык Джордж Bul эмес, эч кандай практикалык колдонууга ээ болгон, математика бир бутагын түзүү ниетин билдирген бир талаш-тартышты жаратты. биз тарыхтан билгендей, бул учурда жигердүү өнөр жай өндүрүшүн өнүктүрүүгө, биз көмөкчү машиналарды бардык түрлөрү өсөт, т. E. бардык илимий ачылыштар практикалык багыт бар болчу.

Алдыга озуп, логикалык алгебра деп - математика дүйнө бөлүгүндө колдонулат. Ошондуктан аргумент Buhl жоголгон.

Джордж Bul

Адабий адамдын атайын бурушубуз керек. Ал тургай өткөн эл бизге чейин өскөн, ал дагы эле ЖАКАН жазган Жакшы Кабар. Buhl 16 жылда айыл мектептен экенин белгилей кетүү керек, ал эми 20 жашка Lincoln өз мектеп ачты экендигин эске алсак. Математик кемчиликсиз беш чет тилдерди үйрөнүп, жана өзүнүн бош убактысында, Newton менен Лагранждын чыгармаларды окуп жаткан эле. Ошондой эле бул - кадимки кызматкердин уулу!

1839-жылы, Buhl Кембридж математикалык журналына биринчи жолу илимий жиберди. Scientist 24 жашка чыкты. Логикалык иши өнүктүрүүгө кошкон салымы үчүн коомунун абдан кызыкдар мүчөлөрү, 1844-жылы, ал бир да жолу медалдарга ээ болуп математикалык анализ. математикалык логика элементтери кайсы бир нече жарыяланган илимий эмгектери, математика Корк округундагы Колледжинде окутуучу кызматын алып, жаштарга жол сүрөттөлгөн жок. абдан Boole билим берүү деп айткан эмес.

ой

Мыйзамга ылайык, логикалык алгебра абдан жөнөкөй. бар арыздар (логикалык математика көз карашынан, сөз айкаштары), эки гана сөз менен аныкталышы мүмкүн: "чыныгы" же "туура эмес". Мисалы, жазында гүлдөп бадалдар - чындык, жайында кар жаайт - жалган. математика кооздугу гана номерлерди колдонуу үчүн өтө зарыл эмес. алгебра сот үчүн абдан өзгөчө мааниси бар кандайдыр бир сөздөрдү туура.

Ошентип, Логика алгебрасынын түзмө-түз бардык жерде колдонууга болот: күн тартибин түзүү жана жазуу тапшырмасы менен, иш-чаралардын бир катар иш-чаралар жана аныктоо тууралуу карама-каршы маалымат анализи. Өтө маанилүү нерсе - бул айтылгандардын чындык же катачылыгын аныктоо кандай мааниге ээ эмес экенин түшүндүм. Бул, "кантип" жана "эмне үчүн" Сен четке керек. Кандай маанилүү чындыкты гана билдирет: Чындык бир калп.

Албетте, тийиштүү белги жана белгилер менен жазылган Логика алгебрасынын маанилүү милдеттерин программалоо. Аларды үйрөнүү - бул жаңы чет тилин үйрөнүш үчүн, дегенди билдирет. Мүмкүн болбогон нерсе жок.

Негизги түшүнүктөр жана аныктамалар

батып бара жаткан эле, биз терминология менен күрөшүүгө туура келет. Ошондуктан, логикалык алгебра болжолдойт:

• отчет;
• логикалык амалдар;
• милдеттери жана мыйзамдар.

Отчет - эки баалуу чечмеленбей калышы мүмкүн кандайдыр бир туура сөздөр. Алар саны (5> 3) жазуу жүзүндөгү же түзүлгөн тааныш сөздөр бар (пил - ири сүт эмүүчү). Бул учурда, сөз да орун алууга укугу бар, бир гана логикалык алгебра деп аныктама "жираф мойну эмес", "жалгандын".

Бардык сөздөр бирдей болушу керек, бирок алар негизги же татаал болушу мүмкүн. Жашыруун колдонуу логикалык сапатында. E. башталгыч логикалык амалдардын тышкары тарабынан түзүлгөн алгебра отчет өкүмдөрү курамда.

Логикалык алгебра аракеттер

Биз буга чейин сот Алгебранын иш экенин унутпашыбыз - логикалык. Жөн гана кошуп, кемите же санды салыштыруу үчүн санариптик амалдарды колдонуп сандардын алгебра эле, математикалык логика элементтери татаал сөздөрдү кылып, андан баш тартууга же түпкү натыйжасын эсептөө үчүн мүмкүнчүлүк берет.

иштешсе бизге тааныш бисмиллах менен билдирди тариздёё жана жөнөкөй логика иштери. Логикалык алгебра тендемелердин касиеттери аны эсепке алууну жана белгисиз эсептөө үчүн мүмкүнчүлүк берет. Логикалык амалдар , адатта, жадыбалды тарабынан жазылган. Анын элементтери алар боюнча жүзөгө ашырылат жана колонналарды эсептөө ишин аныктайт, ошондой эле катар эсептөөлөр натыйжасын көрсөтөт.

иш-аракеттердин негизги логикасы

Логикалык алгебра иш таралган тескериси (NOT) болуп саналат, ал эми логикалык AND жана OR. Ошентип, дээрлик алгебра сот бардык кадамдарды баяндап берүү мүмкүн эмес. Биз майда-чүйдөсүнө чейин үч иш ар бир изилденген.

тескериси (жок) бир гана элементтин (коддон) карата колдонулат. Ошондуктан, операция бир иштебесе тескериси деп аталат. "Бир эмес," сыяктуу белгилер менен түшүнүгүн жазууга: ¬A, или с !. түрүндөгү түрүндө бул мындай болот:

Мындай арыз мүнөздүү баш тартуу иш-милдети: эгерде чын болсо, анда А - туура эмес. Мисалы, ай жерди айланып жатып, - чындык; Жер ай айланып жатып, - жалган.

Логикалык көбөйтүү жана толуктоо

Логикалык жана иш менен бирдикте деп аталат. Бул эмнени билдирет? Биринчиден, эки operands колдонулушу мүмкүн экенин, башкача айтканда, I - .. Binary операция. Экинчиден, ал бир гана эки operands (да А жана Б) чындык учурда жана сөз айкашы өзү чындык болуп саналат. накыл, "Чыдамдуулук менен бир аз аракет" гана эки нерсе экенин көрсөтүп турат адам кыйынчылыктар менен күрөшүүгө жардам берет.

белгилер эсепке алуу үчүн колдонулат: A∧B, A⋅B же && Б.

Бирдикте иштешсе көбөйтүү окшош. Кээде деп - логикалык көбөйүү. Сиз столдун катар элементтерин көп болсо, биз логикалуу ой жүгүртүү сыяктуу эле натыйжаны алуу.

Disjunction логикалык ЖЕ операция болуп саналат. отчеттун жок дегенде, бири чындык (же же B) болсо, анда бул чындык. Ал мындай деп жазылган: A∨B, А + Б же A || Б. Бул иш үчүн чындык стол болуп төмөнкүлөр саналат:

окшош аритметикасы тышкары Disjunction. логикалык тышкары операция бир гана чектөө бар: 1 + 1 = 1. Бирок, биз санариптик математикалык логика менен чектелет 0 жана 1 унутпа (жерде 1 - чындык, 0 - жалган). Мисалы, "Сиз бир чыгарманы көрүп же жакшы компания таба аласыз музейинде" билдирүү өнөрү иштерин көрө алабыз деген эмнени билдирет жана бул кызыктуу адам менен жолугушуу болот. Ошол эле учурда, окуялар менен бир эле мезгилде аткаруу мүмкүнчүлүгүн жокко чыгара алышпайт.

Милдеттери жана мыйзамдар

Ошондуктан, биз буга чейин эле логикалык алгебра менен логикалык операция билишет. Functions математикалык логиканын бардык элементтерди өзгөчөлүктөрүн сүрөттөп, жана татаал Кошмок сөздөрдү жөнөкөйлөтүүгө мүмкүндүк берет. абдан ачык-айкын жана жөнөкөй туунду иш четке мүлктү көрүнөт. By туунду XOR түшүнүлөт, аткарган жана бирдей. Биз бир гана негизги ишмердүүлүгү менен окуп, андан кийин менчик гана, аларды карап турат.

Associativity мындай "да А жана Б катары отчетко жана B" катар operands тизмегин кандай мааниге ээ эмес экендигин билдирет. формула төмөнкүдөй жазылган:

(A∧B) ∧V = A∧ (B∧V) = A∧B∧V,

(A∨B) ∨V = A∨ (B∨V) = A∨B∨V.

Көрүнүп тургандай, бул каралат, бирок Disjunction менен эле чектелбейт.

Commutativity бирдикте же Disjunction натыйжасы даана башында карап турган көз каранды эмес экенин ырастайт:

A∧B = B∧A; A∨B = B∨A.

Distributivity татаал логикалык сөз кичине ачып берет. Эреже Алгебранын көбөйүшү, кошумча ачылыш кашаанын окшош:

A∧ (B∨V) = A∧B∨A∧V; A∨B∧V = (A∨B) ∧ (A∨V).

Unit operands касиеттери жана бири болушу мүмкүн тырмоо, ошондой эле, ал нөлгө барабар же, бир бирдигинин тышкары алгебралык көбөйтүү окшош:

A∧0 = 0, A∧1 = A; A∨0 = A, A∨1 = 1.

Idempotency салыштырмалуу эки бирдей operands ишинин жыйынтыгы да ушундай болсо, анда ашыкча кыйыны ой operands "ыргытып" мүмкүн экени айтылат. Менен чогуу жана Disjunction иштери идемпотенттик болуп саналат.

B∧B = B; B∨B = B.

Сатып алуу да аркалашат жөнөкөйлөтүүгө мүмкүндүк берет. Боли сөз айкашы бир коддон колдонулат да, натыйжасы коддон эле элемент менен дагы бир операция ишин кызыктуу деп айтылат.

A∧B∨B = B; (A∨B) ∧B = B.

иштердин тизмеги

иш ырааттуулугу үчүн өтө маанилүү болуп саналат. Чынында, алгебра үчүн, логикалык алгебра колдонот артыкчылыктуу милдети болуп саналат. Formulas иштеринин мааниси боюнча гана жөнөкөйлөтүлгөн болот. көпчүлүк анча олуттуу рейтингинде, биз төмөнкү ырааттуулукту алуу:

1. баш тартуу.

2. каралат.

3. Disjunction, XOR.

4. Башкача айтканда, бирдей.

Сиз бирдикте гана каккандардын көрүп жана бирдей артыкчылыкка ээ эмес, мүмкүн. Disjunction жана россия бир артыкчылыктуу бирдей, ошондой эле мааниси жана бирдей артыкчылыктуу.

теманы жана бирдей иш-милдеттери

Биз да айтылгандай, колдонуунун Алгоритмдер негизги логикалык, математикалык логика жана теориясын толуктоочу. Бул көбүнчө кадамы менен бирдей болуп саналат.

Башкача айтканда, же логикалык натыйжасы - бул отчет, бир иш-аракет кылуу шарт, ал эми башка - аны ишке ашыруунун натыйжасы. Башка сөз менен айтканда, "анда ..., анда" деген шылтоо менен бул сунуш. "Тамактангандан кийин кулга айланып келет." E. айдоо үчүн Аллергия дөбөдө күчөтүлөт керек. Тоодон түшүп көчүп, андан кийин чана сүйрөп эч кандай каалоо жок болсо керек эмес. Ошондуктан Ыйык Жазмада: A → Б же A⇒B.

Бирдей таза таасир эки operands чыныгы болгондо гана пайда болот дегенди билдирет. Мисалы, кечинде Күн горизонттун үстүнө чыкканда, анда бүгүнкү күнгө чейин жол (ошондо гана жана) берет. Бул арыз математикалык логиканын тилинде A≡B деп жазылган, A⇔B, бир == Б.

Логикалык алгебранын башка мыйзамдар

Алгебра сот, жана көптөгөн кызыкдар окумуштуулар жаңы мыйзамдарды иштеп чыгуу үчүн иштеп чыгат. болуп эсептелет көпчүлүк Белгилүү шотландиялык математик O.-де-Морган постулаттайт. Ал көрүп, жакын тануу, кошумча жана эки терс сыяктуу касиеттери менен аныктама берген.

Жабуу баш тартуу кашаа эч кандай баш алдында деп айтууга болот: жок (же B) = эмес, же B. ЭМЕС

коддон баш кийин карабастан анын наркы, кошумча жөнүндө мындай дейт:

B∧¬B = 0; B∨¬B = 1.

Анан да, акырында, эки тескериси өзү толтурат. башкача айтканда, же коддон тескериси мурда жоголуп, же бир эле бойдон калууда.

сыноолорду кантип чечүү

Logic жөнөкөйлөтүү алдын ала мисал көрсөтүп турат. Сыяктуу Lie алгебра, бул максималдуу биринчи абалын камсыз кылуу үчүн (татаал киргизүү иш таап, алар менен бирге), керек болсо, анда туура жооп издей баштайт.

жөнөкөйлөтүү үчүн эмне кылышыбыз керек? жөнөкөй иш бардык туундуларын Convert. Ошондо бардык кичине ачпа (же тескерисинче, кичине бул элементти азайтуу үчүн). кийинки кадам логикалык алгебра касиеттери иш жүзүндө колдонуу керек (жутуу касиеттерин нөл бир, жана т.).

Акыр-аягы, барабардык жөнөкөй иш менен бирге белгисиз минималдуу саны, түзүлүшү зарыл. Эгер жакын терс көп сандагы болсо, бир проблеманы чечүү жолдорун издөөгө жолу жөнөкөй. Анан жооп өзүнөн-өзү эле калкып чыгат.