Анык эмес интегралдар. Аныкталбаган интегралдар эсептөө

Математикалык анализдин негизги бөлүмдөрүнүн бири ажырагыс эсептөө болуп саналат. түбөлүккө ажырагыс - Бул биринчи объекттерди, өтө кең талааны камтыйт. Кызматы дагы эле орто мектепте бир негизги жогорку математика сүрөттөгөн жогорулатуу мүмкүнчүлүктөрү, келечеги санын ачып эле турат.

көрүнүшү

Бир караганда, бул заманбап, актуалдуу үчүн таптакыр ажырагыс сезилет, бирок иш жүзүндө ал, кайра 1800-жылы келген экен BC. Негизги бет расмий Мисир деп бизге анын бар экенин буга далил жете элек эле. Бул тууралуу маалыматы жок экендигин, бардык учурда бир көрүнүш катары гана жайгашкан. Ал дагы бир жолу ошол убактагы элдердин илимий өнүгүү денгээлин тастыктап турат. Акыр-аягы, иштери табылган , байыркы грек математика 4-кылымга чейин сүйлөшүп. Алар түбөлүккө ажырагыс бир ийринин абалда көлөмүн же аянтын табуу үчүн болгон мааниси (үч өлчөмдүү жана эки өлчөмдүү бир учак, тиешелүүлүгүнө жараша) ыкмасын пайдалануу сүрөттөгөн. эсептөө татыбай компоненттердин алгачкы ишмердин бөлүү ыкмасы боюнча жүргүзүлдү, көлөмү (аймак) аларга белгилүү болуп калган. Убакыттын өтүшү менен өсүп ыкмасы, Архимед бир парабола аянтын табуу үчүн колдонушкан. ошол эле учурда Окшош эсептөөлөр грек ишенимдештерине илим толугу менен көз карандысыз болуп, байыркы Кытай машыгууларды өткөрүп туруу.

өнүгүү

XI кылымда BC кийинки ачылыш чек түртүп "араба" Араб аалым иши Абу Али ал-Хасан Басри, болуп калды эле белгилүү болгон, белгилүү бул үчүн колдонуу, төртүнчү алгачкы суммаларды жана градуска акчаны эсептөө үчүн ажырагыс бисмиллах алынган жок бизге дарстарында ыкмасы.
Бүгүнкү Minds байыркы Мисирде кандай атайын каражаттарды кошпогондо сонун эстеликтер жаратылган +, өз колу менен бул башка, бирок кем эмес бир керемет бир күч жинди илимпоздор эмес, болгон суктануусун туудурат? өз өмүрүн азыркы мезгилде салыштырмалуу дээрлик жөнөкөй көрүнөт, бирок Аныкталбаган интегралдар чечими бардык ижарачылар жана андан ары өнүктүрүү боюнча иш жүзүндө колдонгон.

Италиялык математик Cavalieri алды бөлүнбөс ыкмасын, алып чыккандан кийин, кийинки кадам, XVI-кылымда болуп өткөн Пер Ferma. Бул эки адамдын учурда белгилүү заманбап Интегралдык эсептөөнүн, негиз салган. Алар буга чейин өзүн-өзү камтылган бирдик катары алынган өзгөчөлөнүүнү жана биримдүүлүк түшүнүктөрүн, байлашты. Жалпы жонунан, ошол математикасы жыйынтыгы чектелген пайдалануу менен, өзүнөн-өзү бар майдаланган бөлүкчөлөрдүн болду. бириктирип, жалпы негизин таба Way учурда жалгыз чыныгы болуп, анын жардамы менен, заманбап математикалык анализ өсүп жана иштеп чыгуу мүмкүнчүлүгүн алышты.

убакыттын өтүшү менен, ошондой эле бардык нерсени жана ажырагыс белгисин өзгөртөт. Жана чоң, мисалы, өз жолу менен дайындалган илимпоздорду эле, Newton интегралдануучу милдетин койду, же жөн эле чогуу бир чарчы сөлөкөтүн, колдонгон. Бул айырма XVII кылымда, математикалык анализ илимпоз Gotfrid Leybnits бүт теориясы үчүн өтө маанилүү, биз тааныш ушундай мүнөздө киргизилген чейин созулган. Узун "S", чынында, бул каттын негизинде , латын тамгаларынын каралат суммасын билдирет бери. 15 жылдан кийин ажырагыс аты Якоб Бернулли, ыраазычылык алынган.

расмий определение

түбөлүккө ажырагыс алгачкы аныктоо көз каранды, ошондуктан биз биринчи кезекте, аны карап көрөлү.

Antiderivative - бул жөнөкөй деп аталган иш жүзүндө, Туундуну кайтарым милдети болуп саналат. Болбосо: д-жылдын алгачкы милдети - туунду V <=> V '= Кор милдети D болуп саналат. Издөө алгачкы түбөлүккө ажырагыс эсептөө болуп саналат, жана иштетүү өзү биригүү деп аталат.

мисалы:

ишт с (ж) = ж ^3, жана анын алгачкы S (ж) = (ж ^4/4).

милдетинин бардык каралат топтому - бул түбөлүк ажырагыс болуп саналат, мындай деп белгиленет: ∫v (х) клип.

V (х) деп улам - айрым бир гана алгачкы алгачкы милдети болуп саналат, сөз айкашы турат: ∫v (х) клип = V (х) + C, C - туруктуу. анын туунду нөл болгондуктан негизсиз туруктуу, кандайдыр бир туруктуу сөз ылайык.

касиеттери

түбөлүккө ажырагыс ээлеп касиеттери, олуттуу аныктоо жана туунду касиеттерине негизделген.
негизги ойлорду карап көрөлү:

• алгачкы ажырагыс туунду өзү плюс эркин туруктуу C <=> ∫V начар болот "(х) клип = V (х) + C;
• Сизде ажырагыс туунду баштапкы милдети <=> (∫v (х) клип) '= а (х);
• туруктуу <=> ∫kv ажырагыс белгиси (х) астынан алынган клип = k∫v (х) клип, к - эркин болуп саналат;
• интеграл суммасына айырмасыз бирдей суммасынан алынып жаткан ажырагыс, <=> ∫ (V (ж) + W (ж)) Жаны = ∫v (ж) Жаны + ∫w (ж) Жаны.

Акыркы эки касиети түбөлүккө ажырагыс сызыктуу деген тыянак чыгарса болот. Ушундан улам, биз: ∫ (ул (ж) Жаны + ∫ LW (ж)) Жаны = k∫v (ж) Жаны + l∫w (ж) DY.

чечимдер Аныкталбаган интеграл турукташтырып мисалдарын көрүү үчүн.

Сиз ажырагыс ∫ (3sinx + 4cosx) Dx табышы керек:

• ∫ (3sinx + 4cosx) клип = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + C = 4sinx - 3cosx + C.

Мисалы, биз түбөлүккө интегралга кантип чечиш керек экенин билбей деп жыйынтык чыгарууга болот? Бардык Primitives таба! Бирок бүтүмдүгүн издөө төмөндө талкуулашты.

Ыкмалары жана мисалдар

ажырагыс чечүү үчүн, сиз төмөнкү ыкмалардын кайрыла алат:

• столдун алууга даяр;
• бөлүктөрүндө жалпылаштыруу;
• өзгөрмө алмаштыруу жолу менен киргизилет;
• жараша белгиси астында чыгарууда.

столдор

абдан жөнөкөй жана кызыктуу жолу. Азыркы учурда, математикалык анализ Аныкталбаган интегралдар негизги болуш жазылган абдан кенен столдорду, мактана алат. Башка сөз менен айтканда, сага чейин алынган шаблондор бар, сиз жөн гана алардын кызматы менен колдоно алат. Бул жерде ар бир окуяга көрсөтүлө турган негизги жадыбал кызмат орундарынын тизмеси болуп саналат, бул абалга бир чечүү жолун бар:

• ∫0dy = C, мында C - туруктуу;
• ∫dy = Ж + C, мында C - туруктуу;
• ∫y ^н Жаны = (ж ^{н + 1)} / (N + 1) + C, мында C - туруктуу жана н - саны биримдиги менен айырмаланат;
• ∫ (1 / ж) Жаны = ы | Ж | + C, мында C - туруктуу;
• ^{Ккк ж Жаны = д ж + C} , мында C - туруктуу;
• ^{∫k ж Жаны = (к ж /} ы к) + C, C - туруктуу;
• ∫cosydy = жэжжжжжжжжжжжжжж + C, мында C - туруктуу;
• ∫sinydy = -cosy + C, мында C - туруктуу;
• ∫dy / кызмат ¼т¼¼д¼н ² ж = tgy + C, мында C - туруктуу;
• ∫dy / күнөө ² ж = -ctgy + C, мында C - туруктуу;
• ∫dy / (1 + ж ²⁾ = arctgy + C, мында C - туруктуу;
• ∫chydy = уялчаак + C, C - туруктуу;
• ∫shydy = Чуй + C, C - туруктуу.

Зарыл болсо, бир түрүндөгү карашы кадамдар жубайлар integrand алып жасап жана өлүмдү жакшы көрүшөт. МИСАЛ: ∫cos (5x -2) клип = 1 / 5∫cos (5x - 2) D (5x - 2) = 1/5 х күнөө (5x - 2) + C.

чечими боюнча, мисалы, бир стол integrand ёзгёргён эмес көбөйткүч 5. Биз жалпы сөз менен 1/5 бул көбөйүүдө менен катар, аны кошуп жок экени түшүнүктүү.

Бөлүктөрүндө Integration

эки милдеттерди карап көрөлү - Z (ж) жана X (ж). Алар анын доменинде үзгүлтүксүз differentiable болушу керек. бир туунду касиеттери бар: D (XZ) = xdz + zdx. эки тарапты киргизүү, биз ала: ∫d (XZ) = ∫ (xdz + zdx) => Zx = ∫zdx + ∫xdz.

натыйжасында элементтердин Rewriting, биз бөлүктөрүндө бириктирүү ыкмасын сүрөттөп чечим алуу: ∫zdx = Zx - ∫xdz.

Бул эмне үчүн зарыл? акыркы түрүндөгү түрүндө жакын болсо, анда ал бир нече мисалдар, чынында эле, Кудайдын, ∫zdx ∫xdz азайтуу үчүн, айталы жөнөкөйлөтүүгө болот. Ошондой эле, бул формула оптималдуу жыйынтыгы боюнча, бир нече жолу колдонууга болот.

бул жол менен кантип чечүү түбөлүккө интегралдар:

• ∫ (S + 1) электрондук ^2s Даун эсептөө үчүн зарыл болгон

∫ (х + ^{1) электрондук 2s иа = {Z =} + с 1, DZ = иа, ж = 1 ^{/ 2e 2S, DY = д 2} DS} = ((S + 1) электрондук ^2S) / 2-1 / 2 ккк ^2s клип = ((S + 1) электрондук ^2s) / 2-е ^2s / 4 + C;

• ∫lnsds эсептөө керек

∫lnsds = {Z = LNS, DZ = DS / с, ж = с, Жаны = DS} = slns - ∫s х DS / с = slns - ∫ds = slns сатылышы + C = S (LNS-1) + C.

өзгөрмө алмаштыруу

Аныкталбаган интегралдар чечүү Бул принцип татаал болсо да, мурунку эки караганда суроо-талаптын аз эмес. ыкма төмөнкүдөй: V (х) болсун - бир милдети V (х) ажырагыс. өзү үлгү slozhnosochinenny менен ажырагыс келген учурда, түшүнбөй туруп, туура эмес жол чечимдерди барып мүмкүн. X жараша Корган сактоо, ал эми жалпы сөздөр көрүнөө жөнөкөйлөтүлгөн турган, Z үчүн өзгөрүлмө X бул практика өзгөрүүлөрдү алдын алуу үчүн.

математикалык жактан алганда, бул төмөнкүдөй: ∫v (х) = клип ∫v (ж (Z)) и (Z) DZ = V (Z) = V (ж -1 (х)), Х = У ( я) - алмаштыруу. Анан, албетте, тескери милдети Z = ж ^-1 (х) толугу менен мамилесин жана өзгөрүүлөр менен мамиле тууралуу айтылат. Маанилүү эскертүү - түрдүү клип сөзсүз эле жаңы түрдүү DZ менен алмаштырылат, Анык эмес интегралдар менен өзгөрмөнүн өзгөрүшүнө бери эле эмес, integrand бардык жерде, анын ордуна билдирет.

мисалы:

• ∫ (лер + 1) / (с ² + 2s - 5) табышы керек Даун

алмаштыруу Корган колдонуу = (с + 1) / (с ² + 2s-5). Анан DZ = 2sds = 2 + 2 (S + 1) DS <=> (S + 1) иа = DZ / 2. Натыйжада, өтө жеңил болуп, төмөнкү сөздөр, эсептөө үчүн:

∫ (лер + 1) / (с ² + 2s-5) = DS ∫ (DZ / 2) / Z = 1 / 2ln | Z | + C = 1 / 2ln | с ² + 2s-5 | + C;

• Сиз ажырагыс табышы керек ∫2 ^с е ^С клип

төмөнкү түрүндө кайра чечүү үчүн:

^{∫2 с е С DS = ∫ (} 2e) с DS.

Биз = 2e (бул кадам эмес, талаш алмаштыруу, ал дагы эле болуп калат), биз көрүнгөн татаал негизги түрүндөгү түрүндө ажырагыс берүү менен билдирет:

^{∫ (2e) с = иа ∫a} C = (2e) = а с / lna + с иа с / м лн (2e) + C = 2 ^С е ^с / м лн (2 + жебөөгө) + C = 2 ^С е ^с / (LN2 + 1) + C.

бир түрдүү белги чыгаруу

Жалпы жонунан, Аныкталбаган интегралдар бул ыкма - өзгөрмөнүн өзгөртүү негизинен эгиз бир тууганы, бирок каттоо жараяны боюнча айырмачылыктар бар. Анда ага кененирээк токтолуп көрөлү.

Эгерде ∫v (х) клип = V (х) + C жана ж = з (х) болсо, анда ∫v (ж) Жаны = V (ж) + C.

Ошол эле учурда, биз анча ажырагыс өзгөрүүлөрдү унутпашыбыз керек, өз ара:

• клип = г (х + а), жана жиберсем, - ар дайым;
• клип = (1 / а) D (м + б), бул жерде - туруктуу кайрадан, бирок, ал нөлгө барабар эмес,
• xdx = 1/2-чи (х ² + б);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = г (sinx).

биз түбөлүккө ажырагыс эсептеп жалпы ишти карай турган болсок, мисалдар '(х) клип = съ (х) ж жалпы бисмиллах кирген болот.

мисалдар:

• табышы керек ∫ (2s + 3) ^2-иа, иа = 1/2-чи (2s + 3)

∫ (2s + 3) ^2-иа = 1 / 2∫ (2s + 3) ^2-чи (2s + 3) = (1/2) X ((2s + 3) ²⁾ / 3 + C = (1/6) х (2s + 3) ² + C;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | + C.

Online жардам

Кээ бир учурларда, күнөөлүү болуп же жалкоо болот, же шашылыш муктаждык, онлайн багыттамаларды, же тескерисинче, бир эсептегич Аныкталбаган интегралдар колдонуу үчүн колдоно аласыз. интегралдарын ачык татаал жана карама-каршылыктуу мүнөзү карабастан, чечимдерди кабыл: "Сен ... эмне болсо ..." деген эрежеге таянган, алардын белгилүү бир алгоритм, дуушар болот.

Албетте, жыйынтыктар жетүү үчүн айкын жолдор менен, анткени мындай эсептегич бир өзгөчө татаал мисалдар, чечим кабыл алууда белгилүү бир элементтерин колдонууга киргизүү аркылуу жасалма "аргасыз" үчүн ээ болгон учурлар бар да, өздөштүрө албай калат. Бул арыздын талаш мүнөзүнө карабастан, негизинен, математика сыяктуу, чыныгы эмес, абстрактуу илим, жана анын негизги максаты чек күч-кубат берүү үчүн зарыл деп эсептейт. Ал тургай, бир калыпта Нускасы-жылы теориялар алдыга жана өнүгүп өтө кыйын, ошондуктан бизге берген Аныкталбаган интегралдар чечүү мисалдары, деп ойлобошубуз керек - бул мүмкүнчүлүктөрдү бийиктиги болот. Бирок, кайра нерселерди техникалык жагына. эсептөөлөрдү текшерүү үчүн дегенде, ал биз үчүн жазылган кызматынан пайдалана алышат. татаал сөздөрдү автоматтык эсептөө үчүн муктаждык бар болсо, анда алар бир кыйла оор программалык кайрылуу жок. биринчи кезекте, айлана-чөйрөгө MATLAB менен кунт коюп угушубуз керек.

арыз

бул учак айкын пайдаланууну билүү кыйынга турат, себеби, биринчи караганда Аныкталбаган интегралдар чечими, чындыктан таптакыр көрүнөт. Чынында эле, түздөн-түз, сен жок болот, аларга каалаган жерден колдонушу мүмкүн, бирок, иш жүзүндө алар колдонулган чечимдер чыгарылышына жүрүшүндө зарыл аралык элементи болуп саналат. Ошентип, кайрадан чектөө жуурулушуна, ошентип, жигердүү демелерди чечкенден жараянына катышкан.
Өз кезегинде, бул барабардыкты механикалык кыйынчылыктар, траектория эсептөө жана жылуулук өткөрүмдүүлүк чечими боюнча түздөн-түз таасирин тийгизет - Кыскасы, азыркы жана келечектеги абалын түзөт баарын. бир база катары Аныкталбаган интеграл, бир караганда гана анча маанилүү эмес, биз жогоруда карап турган мисалдар көп жана жаңы ачылыштар жүзөгө ашырууга.